Matematik

MATEMATIK: Kvantkaos är (inte) granne med kvantmekanik

Pär Kurlberg, född 1969 (40 år), är professor i matematik vid Kungliga Tekniska högskolan, Stockholm.

Kurlbergs forskning kretsar kring arbeten inom talteori med anknytning till matematisk fysik och dynamik, speciellt studiet av så kallat kvantkaos. Den centrala frågeställningen inom kvantkaos är att förklara sambandet mellan klassiskt kaos och kvantmekanik. I ett kaotiskt system blir små skillnader i begynnelsevillkor snabbt förstärkta, vilket omöjliggör förutsägelser långt fram i tiden. I kvantmekanikens våglika värld blir däremot partikelbanor ”utsmetade”, vilket verkar utesluta den mycket komplicerade bilden av tätt sammanflätade men divergenta banor som kännetecknar kaos. En grundläggande fråga är hur kaos kan ”skapas” i ett universum som i grunden är kvantmekaniskt. Ett exempel på ett kaotiskt system är en punktformad boll som rör sig friktionsfritt på ett stadiumformat biljardbord. För nästan alla val av startpunkt och riktning kommer bollen att ”ha närmat sig alla punkter från alla håll”, så kallad ergodisk rörelse. En kvantmekanisk motsvarighet till ergodicitet är att stationära tillstånd är likformigt fördelade.

Vid numeriska experiment har man emellertid funnit kvantärr, att vissa stationära tillstånd koncentrerar sig längs slutna banor. Finns dessa ärr vid godtyckligt stora energier? För allmänna kaotiska system verkar frågan svår att besvara, men i vissa fall kan talteoretiska metoder användas; för så kallade CAT maps har ärrbildning uteslutits för desymmetriserade stationära tillstånd – ett av de första rigorösa resultaten inom området. På lite längre sikt kan forskningsresultat inom kvantkaos få tillämpning inom mikroelektroniken och torde därför vara av intresse för dator- och kommunikationsindustrin.

Kontakt
Tel 070-794 99 67
Mail kurlberg@math.kth.se
Webbplats

MATEMATIK: Matematiska problem inom kosmologin

Hans Ringström, född 1972 (38 år), är akademiforskare i matematik och docent i matematik vid Kungliga Tekniska högskolan, Stockholm.

Ringströms forskning kretsar kring matematiska problem som uppstår vid studiet av Einsteins allmänna relativitetsteori, speciellt kosmologi. Ett grundantagande i modern kosmologi är den så kallade kosmologiska principen, att rummet är homogent och isotropt; med andra ord, i ett givet ögonblick i tiden ser man ingen skillnad mellan olika punkter i rummet (homogenitet) och inte heller mellan olika riktningar (isotropi). Om man gör dessa antaganden leds man till standardmodellerna av universum. Dessa börjar med en big bang för att sedan expandera för evigt eller kollapsa igen. Eftersom de starka antagandena strikt taget inte är korrekta är det av intresse att analysera vad som händer om man släpper på dem. Får man en big bang med godtyckligt starka gravitationsfält?

En relaterad fråga gäller ovan nämnda modellers stabilitet. Man kan betrakta Einsteins ekvationer som ett begynnelsevärdesproblem, och frågan är vad som händer om man tar ett initialt tillstånd motsvarande en standardmodell och stör det lite grand; blir den resulterande rumstiden ungefär likadan? Ytterligare en fråga av intresse gäller universums globala form. Homogenitets- och isotropiantagandena leder till starka begränsningar, men vad begränsningarna blir om man enbart kräver att universum är nästan homogenet och isotropt är allt annat än klart.

Kontakt
Tel 070-665 84 31
Mail hansr@kth.se
Webbplats 

MATEMATIK: Problem om heltal och biljardspel

Andreas Strömbergsson, född 1973 (38 år), är professor i matematik vid Uppsala universitet.

Huvudämnet för Strömbergssons forskning är talteori, som är den gren av matematiken som rör heltalens egenskaper. Talteoriska frågor är ofta enkla att förklara även för icke-matematiker, men de visar sig inte sällan vara mycket svåra att besvara; flera problem har studerats intensivt i långt mer än hundra år, men är fortfarande olösta. Trots att talteoretiska problem till stor del studeras för sin egen inneboende skönhets skull, har resultat inom talteori flera gånger visat sig ha oförutsedda och viktiga tillämpningar på andra områden, inom och utanför den rena matematiken.

Ofta har framsteg i talteori gjorts med hjälp av metoder från andra grenar av modern matematik. Strömbergssons forskning befinner sig just i gränslandet mellan talteori och flera andra matematiska områden. Några av hans arbeten rör den så kallade periodiska Lorentzgasen, vilket är en klassisk idealiserad modell införd av Hendrik Lorentz 1905 för att beskriva elektroners rörelse i en metall: Man betraktar en stor mängd punktpartiklar som rör sig i ett ”biljardspel” bestående av regelbundet utplacerade, klotformiga hinder. För denna modell har  Strömbergsson i samarbete med Jens Marklof gett ett stringent matematiskt bevis för en mikroskopisk transportekvation enbart utifrån de givna mikroskopiska lagarna. Beviset utnyttjar tekniker för speciella typer av dynamiska system med stark koppling till talteori.

Kontakt
Tel 070-207 61 90
Mail astrombe@math.uu.se
Webbplats

MATEMATIK: Att redan i förväg veta hur det ska gå

Johan Wästlund, född 1971 (42 år), är docent i matematik vid Chalmers tekniska högskola och Göteborgs universitet.

Wästlund arbetar med sannolikhetsteori och att lösa stokastiska, det vill säga slumpmässiga, problem där syftet är att bestämma största eller minsta värdet av en matematisk funktion. Wästlund har bland annat studerat det ökänt svåra så kallade handelsresandeproblemet. En handelsresande ska besöka ett obestämt antal städer och längden av resrutten ska minimeras. Indata är en fullständig avståndstabell för par av städer. I en naturlig stokastisk modell fyller man i avståndstabellen med slumptal mellan 0 och 1. Resultatet visar att längden av den optimala rutten inte ökar med antalet städer utan istället verkar stabiliseras vid ett visst värde, ungefär 2.04. Ju fler städer, desto fler steg innehåller en rutt, men samtidigt har varje stad fler kopplingar. Genom att man i första hand väljer de kortaste kan den totala längden begränsas.

Wästlund har bevisat att detta stämmer och har tagit fram metoder för att beräkna gränskostnaden för detta och liknande problem. Wästlunds forskning kan leda till framtagandet av algoritmer som utnyttjar att man från början kan gissa hur bra lösning man kan hoppas på.

Kontakt
Tel 073-500 25 83
Mail wastlund@chalmers.se
Webbplats

MATEMATIK: Numerisk analys ökar förståelsen för vätskors beteende

Anna-Karin Tornberg, född 1971 (42 år), är professor i numerisk analys vid Institutionen för matematik, KTH.

Allt fler fysikaliska experiment genomförs idag helt eller delvis med hjälp av datorsimuleringar, och det är viktigt att de ger tillförlitliga resultat. Anna-Karin Tornberg har speciellt arbetat med strömningsmekanik, och då främst för att studera hur vätskor beter sig när de möter objekt som fibrer och droppar. Ekvationerna som beskriver fysiken är komplicerade, då de exempelvis måste inkludera hur ytspänningen verkar på vattendroppar i olja och hur det påverkar hastighet och tryckfält vid gränsskiktet mellan dropparna och den omslutande vätskan. Tornberg använder numerisk analys för att utveckla verktyg (algoritmer) som gör det möjligt att öka noggrannheten i den approximativa lösningen av dessa differentialekvationer.

Hennes forskning gör det möjligt att ta fram effektivare algoritmer som både minskar beräkningstiderna och tänjer gränserna för vad som anses möjligt vad gäller datorsimuleringar.

Kontakt
Tel 070-586 3123
Mail akto@kth.se 
Webbplats

MATEMATIK: Partiella differentialekvationer och jakten på generella samband

Kaj Nyström, född 1969, (46 år), är professor i matematik vid Matematiska institutionen, Uppsala universitet.

Nyströms forskning har en betydande teoretisk tyngd och är till sin natur av grundforskningskaraktär.

Forskningen behandlar främst partiella differentialekvationer, med tillämpningar inom matematisk analys, finans och fysik. Han är särskilt intresserad av så kallade icke-linjära och degenererade elliptiska och paraboliska partiella differentialekvationer. Förenklat används elliptiska problem för att modellera fenomen som inte beror på tiden och som är av stationär natur. För att förstå dynamik är det dock viktigt att arbeta med paraboliska problem. Kaj Nyström har bland annat utvecklat matematiska tekniker med vilka det nu är möjligt att närmare förstå och analysera lösningar till icke-linjära partiella differentialekvationer av p-Laplace-typ. Dessa ekvationer är viktiga i funktionsteori, men finner också tillämpningar inom till exempel spelteori.

Kaj Nyström arbetar även med att förstå motsvarande paraboliska problem, och med att bygga en matematisk teori för en betydande klass av icke-linjära singulära och degenererade paraboliska partiella differentialekvationer som inkluderar den så kallade p-paraboliska ekvationen. Han vill även utveckla den matematiska analysen av ekvationer av Kolmogorov-Fokker-Planck-typ. Bland de tidigare och pågående projekt som Nyström bedriver ingår även mer tillämpade projekt som optimering av vattenkraft, modellerad som så kallad optimal switching problem, samt matematiska modeller för högfrekvenshandel.

Kontakt: 070-644 32 55
kaj.nystrom@math.uu.se
Webbplats